概率论的创立与数学期望

未完的赌局

1654年，一位自命不凡的法国赌徒舍瓦利耶 · 德 · 梅勒 (Chevalier de Méré) 向布莱士 · 帕斯卡 (Blasie Pascal) 提出了几个在赌场所遇到的几个问题。相关问题由于涉及组合以及概率的理论知识，“数学神童”帕斯卡并没能当场给出解答。他与皮埃尔 · 德 · 费马 (Pierre de Fermat) 以通信的方式对这些问题进行了详细的讨论。梅勒提出的问题中，最著名当属“点数问题 (problem of points)”，又称赌金分配问题。

A和B两人赌技相当，分别拿出32枚金币做注进行赌博，每赢一局得1分，并约定先赢的3分者为赢，将得到所有赌注。赌博游戏因故中断，所投的赌注如何分配才公平？

该问题其实由来已久，不少数学家对其进行了相关研究。有文献记录的“点数问题”最早出现在意大利数学家帕乔利发表于1494年的《算术、几何及比例性质摘要》一书中，形式上略有不同（约定先赢6局获胜，A赢5局B赢2局时中断）。帕乔利给出了分配方案，但未解释原因。1539年，卡尔达诺通过实验指出帕乔利的方案是错误的，并给出了自己的方案（后被证明也是错的）。1556年，塔塔利亚也批评了帕乔利的方案，甚至怀疑点数问题存在数学解答的可能性，并勉为其难的给出了自己的方案。1603年，弗雷斯坦尼也给出了一个类似于塔塔莉亚的方案。虽然几代数学家的努力并为成功，然而终有卡尔达诺的意识到分配原则不应该仅依赖于双方已赢得的点数，而应该和双方应得终局所差的点数有关。

问题终于被帕斯卡和费马完美解决了。为讨论梅勒提出的几个问题，帕斯卡和费马在1654年7月至10月间通信7封。其中第3封信是帕斯卡写给费马的，日期为1654年7月29日。信中帕斯卡肯定了费马在第2封信中关于赌金分配的方案，并圆满解决了点数问题。而在第4封费马给帕斯卡的回信中，费马给出了另一解法（原信已遗失，从帕斯卡的第5封信可推知）。帕斯卡的概率论思想主要体现在第3封信中，因此学界认为，概率论诞生于1654年7月29日。

有关概率论在初创时期的奠基之作，卡尔达诺所著的《论机会游戏》是不得不提的。可惜该书直到1663年才出版，其他概率论的著作已在此前问世，也就削弱了《论机会游戏》的影响。此外，克里斯蒂安 · 惠更斯所著出版于1657年9月的《论赌博中的计算》一书更具奠基意义。惠更斯在1655年秋的一次巴黎之行中，第一次了解到点数问题的，1656年4月回到荷兰后独立解决了这些概率问题。在导师范舒藤的支持下，在1657年3月将书稿完成校订，其中包含14个命题和5个问题。期间惠更斯也与费马通信讨论了相关问题。虽然帕斯卡与费马的第三封信，写的时间早于《论赌博中的计算》，但通信1679年才公布于众。因此，也有学者认为惠更斯的著作才是概率论的开山之作。

数学期望的定义

现在让我们将点数问题简化，并借此引入数学期望的概念。

A和B两人赌技相当，分别投入100个金币，并约定先赢的3局者为赢，将得到所有200个金币。在A赢2局，B赢1局时，游戏因故中断。此时赌注如何分配才公平？

显然，按照现有胜负结果，将200个金币都给A，B一定不服；又或者按照来分配，A和B可能都不服。因为目前结果A是占优，他更有可能拿到所有金币，而对B来说虽然目前处于劣势，但也有应得所有金币的希望。上文提到，在所有试图解决点数问题的数学家中，卡尔达诺最早意识到分配原则不应该仅依赖于双方已赢得的局数，而应该和双方赢得终局所差的局数有关。那么按照卡尔达诺的思路，应得终局所差的局数应该如何计算呢？

现在我们这样来问：加入赌局能够进行下去，最多再有几局就一定分出胜负呢？稍作分析即得答案——最多再有2局。

再问：这未进行的两局会有怎样的结果呢？由于两人赌技相当，也就是说每局他们都有0.5的机会的赢。所未进行赌局的结果，应有四种可能，其中前3种结果都会让A赢得全局，只有最后1种可能会让B应得全局。换句话说，A赢得全部200个金币的机会有，而B赢的全部200个金币的机会只有。所以完美的解决方案呼之欲出。

实际上“与双方赢得终局所差的局数”有关的上述方案，和“双方已赢得的局数”是有间接关系的。

现在我们改变一下点数问题，假如赌局在时中止了，又该如何分赌金？

还是一样的思路，只不过现在最多再有3局就一定能分出胜负了。所未进行赌局的结果，应有四种可能，其中有4种可能会让A赢得全局，而B赢得全局的可能结果也有4种。所以赌局在时中止时，各自那会自己的赌金即可。

由此可见，最终赌金的分配方案，与已经发生的结果是有关系的，只是不能有其单方面决定。

回到最初的问题，A赢得全局的机会为，应该分的金币为150个。得到150个硬币的式子实际上应该分解为以下形式

上式的前三项分别对应三种情形下，A应分得的金币数，最后一项对应这种情形下，A应得的金币数。而上式实际上是A应分得金币数的4种情况 (前3种情况相等) 的概率加权平均数。现在可以引入数学期望的概念了。

数学期望 (mathematic expectation)，亦简称期望，是试验中每次可能结果乘以相应概率的总和，它反映随机变量平均取值的大小。

假设有一随机变量，有有限个观测值，且每个观测值的概率分别为，则随机变量的数学期望为

而如果该随机变量为连续性随机变量，则其数学期望为

其中为变量的概率密度函数，有参数个参数。

本质上，数学期望就是对事件长期价值的数字化衡量。而方法上，数学期望就是对随机事件不同结果的概率加权平均。

数学期望 vs. 平均数

数学期望通常被认为等同于平均数。然而，深挖两者内涵，会发现不同。

数学期望是概率论层面的概念，平均数是统计学概念。又或者，数学期望时理论层面的概念，而平均数是技术层面的概念。当用加权平均方法计算平均数时，如果权重等于观测值的概率时，平均数就等于数学期望；而如果权重等于一次试验所得结果中观测值的频率时，平均数就不等于数学期望，此时的平均数仅是数学期望的一次“预测”。